\documentclass[12pt, a4paper, oneside]{ctexart}
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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学高等代数真题}}
\author{杨泽天}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\def\d{\mathrm{d}}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\maketitle
\section*{2018年高等代数}
\begin{problem}
在实数域上 $g(x)=f_1(x)+if_2(x)$,$d(x)=(f_1(x),f_2(x))$ .证明 $g(x)$ 与 $d(x)$ 有相同的根.
\end{problem}

\begin{problem}
    线性方程组
    $$ 
        \left\{
        \begin{align}
        ax_1+x_2+\cdots+x_n &= 0 \\
        x_1+ax_2+\cdots+x_n &= 0 \\
        \cdots\\ 
        x_1+x_2+\cdots+ax_n &= 0 \\
        \end{align}
         \right.
    $$    
    只有零解，求 $a$ 的值.
\end{problem}

\begin{problem}
    $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 是线性空间 $V$ 的一组基,
    已知 $(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)A$.
    \newline 
    证明: 向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r$ 的秩等于 $A$ 的秩. 
\end{problem}

\begin{problem}
    $A\in P^{2\times 2}$ ,$V=\left\{ A\big|A\in P^{2\times 2} \right\}$ ，证明：
    \newline 
    (1) $V$ 是线性空间;\\
    (2) 令 $\sigma(A)=DA-AD$ ， $D=\left(\begin{array}{cc}
        1 & 3\\
        0 & 2
    \end{array}\right)$证明 $\sigma$ 为线性变换，并求 $\sigma$ 的核的基与维数. 
\end{problem}
\begin{problem}
    有矩阵 $P(i,j),P(i(c)),P(i,j(c))\in P^{n\times n}$ .
    \newline 线性变换 $\sigma$ 满足:
    \begin{enumerate}
        \item $\sigma(P(i,j)A)=-\sigma(A)$ 
        \item $\sigma(P(i(c))A)=c\sigma(A)$ 
        \item $\sigma(P(i,j(k))A)=\sigma(A)$ 
        \item $\sigma(E)=1$. 
    \end{enumerate}
    当 $n=3$,求 $\sigma\left( 
        \begin{array}{ccc}
            1 & 1 & 2 \\
            1 & 3 & 2 \\
            2 & 2 & 1
        \end{array}
     \right)$,$\sigma\left( 
        \begin{array}{ccc}
            1 & 1 & 2 \\
            3 & 2 & 7 \\
            2 & 1 & 5
        \end{array}
     \right)$   .
\end{problem}
\begin{problem}
    欧式空间 $V$ 内，有线性变换 $\sigma$ ，又有 $\sigma^*$满足
    $$ 
        (\sigma \alpha,\beta) = (\alpha,\sigma^*\beta)
    $$ 
    证明：(1)$\sigma^*$ 是线性变换;
    \newline 
    (2) $\sigma$ 的核等于 $\sigma^*$ 的值域的正交补.
\end{problem}

\begin{problem}
    有矩阵
    $$ 
    \left(
        \begin{array}{ccccccc}
            0 &1 &0 &0 &\cdots &0 &0 \\ 
            0 &0 &1 &0 &\cdots &0 &0 \\
            \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\
            -a_n &-a_1 &-a_2 &-a_3 &\cdots &-a_{n-2} &-a_{n-1}
        \end{array}
    \right)
    $$
    求 $A$ 的特征多项式及 $A $ 的全部特征向量;
    \newline 
    (2) 若 $A$ 的特征多项式有重根，$A$ 是否可以相似与对角矩阵？并说明理由.
\end{problem}
\end{document}